Ο Yakov Eliashberg παραδίδει τη διάλεξη TNQ Distinguished Lecture in Mathematics στο Ινδικό Ινστιτούτο Τεχνολογίας του Μαντράς στις 26 Σεπτεμβρίου 2024. | Φωτογραφία: B. Velankanni Raj
Ο Ρωσοαμερικανός μαθηματικός και βραβευμένος με το Wolf Prize Yakov Eliashberg παρέδωσε μια δημόσια ομιλία στο IIT Madras την Πέμπτη, στο πλαίσιο της εναρκτήριας ετήσιας διάλεξης TNQ Distinguished in Mathematics.
Η ομιλία ήταν μέρος του TNQ Numbers and Shapes, μιας νέας πρωτοβουλίας του ιδρύματος TNQ «για την προώθηση της μελέτης των μαθηματικών και την υποστήριξη της μαθηματικής έρευνας στην Ινδία. Αυτό θα γίνει μέσω ενός προγράμματος καθοδήγησης και συνεργασίας που παρέχει στους μαθητές έκθεση, καθοδήγηση και ταξιδιωτική υποστήριξη για να τους επιτρέψει να συνεχίσουν την έρευνα αιχμής στα καθαρά μαθηματικά». Η εμβληματική εκδήλωση της πρωτοβουλίας είναι η διάλεξη που θα πραγματοποιείται στο Chennai κάθε χρόνο κατά τη διάρκεια ενός εβδομαδιαίου εργαστηρίου.
Η πρωτοβουλία θα επικεντρωθεί στη γεωμετρία και την τοπολογία, τη θεωρία αριθμών, την εργοδοτική θεωρία και τα δυναμικά συστήματα, την αλγεβρική γεωμετρία και τις πιθανότητες και την ανάλυση.
Ανάμνηση των καθαρών μαθηματικών
Πριν από τη διάλεξη, η επικεφαλής του Ιδρύματος TNQ Mariam Ram είπε: «Το TNQ ξεκίνησε τη σειρά Distinguished Lectures in the Life Sciences το 2008, φέρνοντας γνωστούς εμπειρογνώμονες της βιοεπιστήμης στην Ινδία και δίνοντας ευκαιρίες σε φοιτητές και ερευνητές να αλληλεπιδράσουν με τους ηγέτες του κλάδου τους».
Η κ. Ram είπε ότι ελπίζει ότι το νέο πρόγραμμα μαθηματικών του Ιδρύματος θα οδηγήσει σε βαθύτερες και πιο ουσιαστικές συνεργασίες μεταξύ μαθηματικών στην Ινδία. «Αυτές οι διαλέξεις θα μνημονεύσουν τη μακρά ιστορία της Ινδίας και ιδιαίτερα του Ταμίλ Ναντού στα καθαρά μαθηματικά», είπε, προσθέτοντας, «Η ελπίδα μας είναι ότι οι αριθμοί και τα σχήματα TNQ θα συμβάλουν τουλάχιστον λίγο στην έμπνευση των μαθητών να παράγουν όμορφα μαθηματικά».
Ο καθηγητής Eliashberg και ο Simon Donaldson κέρδισαν το βραβείο Wolf για τα μαθηματικά το 2020 «για τη συμβολή τους στη διαφορική γεωμετρία και την τοπολογία».
Σύμφωνα με το Ίδρυμα TNQ, η εμφάνιση της συμπλεκτικής τοπολογίας και της επαφής – ένας τομέας στον οποίο ο καθηγητής Eliashberg είναι ηγέτης – υπήρξε μια από τις πιο σημαντικές και μακροπρόθεσμες προόδους στη μαθηματική έρευνα τις τελευταίες δεκαετίες. Αυτή τη στιγμή είναι ο Herald L. και η Caroline L. Ritch Καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ.
Συμπτωματική τοπολογία
Η ομιλία είχε τίτλο «Ο παράξενος και υπέροχος κόσμος της συμπλεκτικής γεωμετρίας». Στην καρδιά της συμπλεκτικής γεωμετρίας βρίσκεται η συμπλεκτική πολλαπλότητα. Με απλά λόγια, μια πολλαπλότητα είναι ένας χώρος που ακολουθεί τους κανόνες της Ευκλείδειας γεωμετρίας τοπικά, αλλά θα μπορούσε να έχει μια μη Ευκλείδεια δομή σε παγκόσμιο επίπεδο. Αυτό μοιάζει με το πώς η γη φαίνεται επίπεδη σε ένα μυρμήγκι που σέρνεται πάνω της, αλλά αποκαλύπτεται ότι είναι σφαιροειδής όταν ένας αστροναύτης την κοιτάζει από το διάστημα. (Η σφαίρα είναι ένας τύπος δισδιάστατης πολλαπλότητας.) Η συμπλεκτική γεωμετρία ασχολείται με τα χαρακτηριστικά που σχετίζονται με την περιοχή πολλαπλών με ζυγό αριθμό διαστάσεων (2, 4, 6, 8, κ.ο.κ.).
Πριν από τη διάλεξη του καθηγητή Eliashberg, ο MJ Mahan του Ινστιτούτου Θεμελιωδών Ερευνών Tata, στη Βομβάη, εισήγαγε τα μαθηματικά που αποτελούν τη βάση της τοπολογίας — από την απόδειξη του Ευκλείδη για την ύπαρξη άπειρων πρώτων αριθμών μέχρι το θεώρημα Gauss-Bonnet. «Είτε πρόκειται για αριθμούς είτε για σχήματα, υπάρχει κάτι κάτω από αυτά που μπορεί να επεξεργαστεί με χαρτί και μολύβι», είπε.
Ο καθηγητής Eliashberg ξεκίνησε με μια σύντομη ιστορία των κεντρικών προσώπων της τοπολογίας, συμπεριλαμβανομένων των Henri Poincaré, Misha Gromov και William Rowan Hamilton. «Η επίλυση σοβαρών μαθηματικών προβλημάτων απαιτεί πολλούς ανθρώπους», είπε. Μετά πέρασε στις γεωμετρικές πτυχές της τοπολογίας και στη συνέχεια στη μηχανική. Σύμφωνα με τον ίδιο, «η συμπλεκτική γεωμετρία γεννήθηκε ως γεωμετρική γλώσσα της κλασικής μηχανικής».
Οι μαθητές διδάσκονται στα σχολεία να λύνουν προβλήματα κλασικής μηχανικής χρησιμοποιώντας τη Νευτώνεια μηχανική. Η συμπλεκτική γεωμετρία συνδέεται με τη φυσική του πραγματικού κόσμου μέσω μιας εναλλακτικής προσέγγισης που ονομάζεται Χαμιλτονιανή μηχανική. Για παράδειγμα, ας πούμε ότι μια μπάλα κυλάει σε μια πλαγιά. Η κατάσταση αυτού του δυναμικού συστήματος στη Χαμιλτονική μηχανική δίνεται από τη θέση και την ορμή του σε τρεις διαστάσεις. Ο συνδυασμός αυτών των έξι μεταβλητών υποδηλώνει το χώρο φάσης της μπάλας, ο οποίος μπορεί να αναπαρασταθεί και να αναλυθεί ως μια συμπλεκτική πολλαπλότητα.
Η συμπλεκτική τοπολογία προσφέρει μια εναλλακτική προσέγγιση για την επίλυση προβλημάτων που αφορούν συστήματα με πολύπλοκους χώρους φάσης.
Καθώς προχωρούσε σε όλο και περισσότερο εμπλεκόμενες ιδέες, ο καθηγητής Eliashberg εξιστόρησε επίσης πώς έχουν εφαρμοστεί στη μελέτη προβλημάτων στη θερμοδυναμική, την ουράνια μηχανική και τα χαοτικά συστήματα.
Υποχώρηση Ιμαλαΐων
Το TNQ Numbers and Shapes και το Ινστιτούτο Μαθηματικών Επιστημών (IMSc), Chennai, οργάνωσαν ένα τετραήμερο εργαστήριο που διεξάγει ο καθηγητής Eliashberg από τις 23 Σεπτεμβρίου. Σύμφωνα με τον Dishant Pancholi του IMSc, συμμετείχαν περισσότεροι από 20 μαθητές και μαθηματικοί.
Μετά την ομιλία, ο καθηγητής Eliashberg θα ηγηθεί μιας μικρής ομάδας Ινδών μαθηματικών σε ένα καταφύγιο στα Ιμαλάια αφιερωμένο στην εργασία σε λύσεις σε ένα πρόβλημα στη συμπλεκτική τοπολογία που ονομάζεται κοντινή εικασία Lagrangian.
Σύμφωνα με ένα σημείωμα στον ιστότοπο TNQ, «Έχουν αναπτυχθεί διάφορες μέθοδοι για την αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος και έχουν ληφθεί αρκετά επιμέρους αποτελέσματα, αλλά η πλήρης επίλυση της εικασίας είναι ακόμη πολύ μακριά».
Οι συμμετέχοντες στο εργαστήριο και στο retreat επιλέχθηκαν σε μια διαδικασία με επικεφαλής τον καθηγητή Mahan και τον καθηγητή Pancholi.
Δημοσιεύθηκε – 26 Σεπτεμβρίου 2024 09:21 μ.μ. IST
