Το να καταλάβετε ποιες υποομάδες περιέχει μια ομάδα είναι ένας τρόπος για να κατανοήσετε τη δομή της. Για παράδειγμα, οι υποομάδες των Ζ6 είναι τα {0}, {0, 2, 4} και {0, 3}—η ασήμαντη υποομάδα, τα πολλαπλάσια του 2 και τα πολλαπλάσια του 3. Στην ομάδα ρε6οι περιστροφές σχηματίζουν μια υποομάδα, αλλά οι αντανακλάσεις όχι. Αυτό συμβαίνει επειδή δύο αντανακλάσεις που εκτελούνται στη σειρά παράγουν μια περιστροφή, όχι μια αντανάκλαση, όπως η προσθήκη δύο περιττών αριθμών οδηγεί σε έναν άρτιο.
Ορισμένοι τύποι υποομάδων που ονομάζονται «κανονικές» υποομάδες είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι στους μαθηματικούς. Σε μια ομάδα αντικατάστασης, όλες οι υποομάδες είναι κανονικές, αλλά αυτό δεν ισχύει πάντα γενικότερα. Αυτές οι υποομάδες διατηρούν μερικές από τις πιο χρήσιμες ιδιότητες της ανταλλαξιμότητας, χωρίς να υποχρεώνουν ολόκληρη την ομάδα να είναι ανταλλακτική. Εάν μπορεί να εντοπιστεί μια λίστα κανονικών υποομάδων, οι ομάδες μπορούν να χωριστούν σε συστατικά όπως ακριβώς οι ακέραιοι αριθμοί μπορούν να χωριστούν σε γινόμενα πρώτων. Οι ομάδες που δεν έχουν κανονικές υποομάδες ονομάζονται απλές ομάδες και δεν μπορούν να αναλυθούν περαιτέρω, όπως και οι πρώτοι αριθμοί δεν μπορούν να ληφθούν υπόψη. Η ομάδα Ζn είναι απλό μόνο όταν n είναι πρώτος—τα πολλαπλάσια του 2 και του 3, για παράδειγμα, σχηματίζουν κανονικές υποομάδες μέσα Ζ6.
Ωστόσο, οι απλές ομάδες δεν είναι πάντα τόσο απλές. «Είναι η μεγαλύτερη εσφαλμένη ονομασία στα μαθηματικά», είπε ο Χαρτ. Το 1892, ο μαθηματικός Otto Hölder πρότεινε στους ερευνητές να συγκεντρώσουν μια πλήρη λίστα με όλες τις πιθανές πεπερασμένες απλές ομάδες. (Άπειρες ομάδες όπως οι ακέραιοι σχηματίζουν το δικό τους πεδίο μελέτης.)
Αποδεικνύεται ότι σχεδόν όλες οι πεπερασμένες απλές ομάδες είτε μοιάζουν Ζn (για πρωτεύουσες τιμές του n) ή να πέσουν σε μία από δύο άλλες οικογένειες. Και υπάρχουν 26 εξαιρέσεις, που ονομάζονται σποραδικές ομάδες. Το να τα καρφώσουμε και να δείξουμε ότι δεν υπάρχουν άλλες δυνατότητες, χρειάστηκε πάνω από έναν αιώνα.
Η μεγαλύτερη σποραδική ομάδα, που εύστοχα ονομάζεται ομάδα τεράτων, ανακαλύφθηκε το 1973. Έχει περισσότερα από 8 × 1054 στοιχεία και αντιπροσωπεύει γεωμετρικές περιστροφές σε ένα χώρο με σχεδόν 200.000 διαστάσεις. «Είναι τρελό που αυτό το πράγμα μπορεί να το βρουν οι άνθρωποι», είπε ο Χαρτ.
Μέχρι τη δεκαετία του 1980, το μεγαλύτερο μέρος του έργου που είχε ζητήσει ο Χόλντερ φαινόταν ότι είχε ολοκληρωθεί, αλλά ήταν δύσκολο να αποδειχθεί ότι δεν υπήρχαν πλέον σποραδικές ομάδες εκεί έξω. Η ταξινόμηση καθυστέρησε περαιτέρω όταν, το 1989, η κοινότητα βρήκε κενά σε μια απόδειξη 800 σελίδων από τις αρχές της δεκαετίας του 1980. Μια νέα απόδειξη δημοσιεύθηκε τελικά το 2004, ολοκληρώνοντας την ταξινόμηση.
Πολλές δομές στα σύγχρονα μαθηματικά – δακτύλιοι, πεδία και διανυσματικοί χώροι, για παράδειγμα – δημιουργούνται όταν προστίθεται περισσότερη δομή σε ομάδες. Στους δακτυλίους, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε καθώς και να προσθέσετε και να αφαιρέσετε. σε πεδία, μπορείτε επίσης να διαιρέσετε. Αλλά κάτω από όλες αυτές τις πιο περίπλοκες δομές βρίσκεται η ίδια αρχική ιδέα της ομάδας, με τα τέσσερα αξιώματά της. «Ο πλούτος που είναι δυνατός μέσα σε αυτή τη δομή, με αυτούς τους τέσσερις κανόνες, είναι εντυπωσιακός», είπε ο Χαρτ.
Πρωτότυπη ιστορία ανατυπώθηκε με άδεια από το Quanta Magazine, μια εκδοτικά ανεξάρτητη έκδοση του Simons Foundation της οποίας η αποστολή είναι να ενισχύσει την κατανόηση της επιστήμης από το κοινό καλύπτοντας τις ερευνητικές εξελίξεις και τάσεις στα μαθηματικά και τις φυσικές επιστήμες και τις επιστήμες της ζωής.
